В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?

Указание   Ответ   Комментарий

Указание. С 13-го этажа можно поехать только на 5-й этаж.

Ответ.

Комментарий Василия Осиповича Ключевского. Кажется, что можно придумать кривее и извилистее великорусского просёлка? Словно змея проползла. А попробуйте пройти прямее: только проплутаете и выйдете на ту же извилистую тропу.

Обойдите конём доску размером а) 4×5; б) 4×6; в) 4×7, побывав на каждом поле по одному разу. (Возвращаться на исходное поле не обязательно.)

Ответ пункта а)   Ответ пункта б)   Ответ пункта в)

а) Ответ. 20 9 16 3 12 15 2 11 6 17 10 19 8 13 4 1 14 5 18 7

б) Ответ. 24 11 16 3 20 7 17 2 19 6 13 4 10 23 12 15 8 21 1 18 9 22 5 14

в) Ответ. 28 5 22 7 18 13 16 23 2 25 12 15 10 19 4 27 6 21 8 17 14 1 24 3 26 11 20 9

Обойдите конём, побывав на каждом поле ровно по одному разу, доску размером а) 5×5; б) 10×10; в) 13×13.

а) Ответ  б) Указание I  б) Указание II  б) Ответ  в) Указание I  в) Указание II

а) Ответ. 7 12 17 22 5 18 23 6 13 16 11 8 15 4 21 24 19 2 9 14 1 10 25 20 3

б) Указание I. Разбейте доску на четыре доски размером 5×5. Придумайте способ обойти сначала одну из них, а затем перейти на вторую, пройти её, перейти на третью, и так далее.

б) Указание II.                                                 100                                       76 1   25         75   51 26                                       50

б) Ответ. 80 91 96 89 78 7 12 17 22 5 97 88 79 84 95 18 23 6 13 16 92 81 90 77 100 11 8 15 4 21 87 98  83 94 85 24 19 2 9 14 82 93 86 99 76 1 10 25 20 3 53 70 75 60 51 26 49 36 43 32 64 59 52 69 74 35 44 33 48 37 71 54 65 58 61 50 27 40 31 42 66 63 56 73 68 45 34 29 38 47 55 72 67 62 57 28 39 46 41 30

в) Указание I. Рассмотрите каёмку шириной 2 клетки, идущую по краю доски. Придумайте путь коня, который проходит по одному разу через каждое поле этой каёмки.

в) Указание II. На рисунке показан путь коня, который начинается с углового поля доски, проходит по всем полям внешней каёмки и заканчивается в угловой клетке оставшейся части доски. 19 40 61 82 17 38 59 80 15 36 57 78 13 62 83 18 39 60 81 16 37 58 79 14 35 56 41 20                   12 77 84 63                   55 34 21 42                   76 11 64 85                   33 54 43 22                   10 75 86 65                   53 32 23 44                   74 9 66 87                   31 52 45 24 89                 8 73 88 67 2 47 26 69 4 49 28 71 6 51 30 1 46 25 68 3 48 27 70 5 50 29 72 7

Кузнечик прыгает на 1 сантиметр, потом прыгает на 3 сантиметра в том же или противоположном направлении, затем в том же или противоположном направлении на 5 сантиметров, и так далее. Может ли он после 25-го прыжка оказаться в исходной точке?

Ответ   Указание

Ответ. Нет.

Указание. Сумма нечётного числа нечётных чисел нечётна.

Из шахматной доски вырезаны поля f3 и c6. Можно ли обойти оставшиеся поля, побывав на каждом ровно один раз и каждым ходом переходя на поле, у которого общая сторона с предыдущей?

Ответ   Указание

Ответ. Нельзя.

Указание. Поля c6 и f3 одного цвета — белые. Поэтому после их удаления на доске остаются 32 чёрных поля и 30 белых. Поскольку числа 32 и 30 различаются более чем на единицу, обход невозможен.

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, никогда не поворачивая назад. Может ли оказаться, что в некоторой вершине он уже побывал 25 раз, а в каждой из остальных — по 20 раз?
 

На рисунке изображён маршрут короля, обошедшего доску размером 2×2, чередуя диагональные и недиагональные ходы и побывав на каждой клетке по одному разу. Нарисуйте такой маршрут для доски 8×8.