На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?

Предупреждение  Указание   Ответ

Предупреждение. Части не обязательно одинаковые. Ответ 12 (= НОК [3,4]) неверен.

Указание. Если торт разрезан на 5 частей и эти части розданы поровну троим, то хотя бы одному из троих досталась всего лишь одна часть. В таком случае эта часть составляет 1/3 торта. Поскольку 1/3 > 1/4, то в рассматриваемом случае торт нельзя поровну раздать четверым.

Ответ. На 6 частей, а именно: три четверти и ещё три части по 1/12 каждая.

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые) суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь принимают в отношении 1 : 4. Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому её не надо рассматривать.)

Ответ   Решение

Ответ. Можно.

Решение. Если поставить на первую лошадь 20 копеек, на вторую — 25, а на третью — 50 копеек, то в любом случае игрок получит 1 рубль, а потратит лишь 20 + 25 + 50 = 95 копеек.

Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?

Ответ   Указание I   Указание II   Решение

Ответ. 8.

Указание I. Четырёхугольник может быть невыпуклым.

Указание II. На рисунке изображено неверное решение: пересечение изображённых фигур — треугольника и четырёхугольника — состоит из двух четырёхугольников, а мы хотим, чтобы оно было восьмиугольником.

Решение.

а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

Указание

Указание. Каждым ходом конь меняет цвет поля: с белого поля идёт на чёрное, а с чёрного — на белое.

б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?

Ответ   Указание

Ответ. Не может.

Указание. Белых и чёрных полей на доске, из которой выпилили одно поле, не поровну.

в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?

Ответ   Указание

Ответ. Не может.

Указание. Поскольку число 63 нечётно, конь за 63 хода меняет цвет поля. Но левое нижнее и верхнее правое поля шахматной доски одного цвета (чёрные, хотя это не имеет значения).

Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.

Указание

Указание.

Если от некоторого двузначного числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3, то разделится не на 3, а на 2. Если к этому числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7. Что же это за число?

Ответ

Ответ. 41.

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.

Намёк   Указание   Ответ

Намёк. Многие из искомых чисел равны 1.

Указание. Найдите хотя бы одно решение уравнения 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x + y = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · x · y. в натуральных числах.

Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 и 10.

а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились 3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.

Подсказка   Решение

Подсказка. Врачи указали друг на друга. Могли ли все пациенты разбиться на тройки, в каждой из которых все указали друг на друга?

Решение. Если человек не входит в тройку, в которой все указали друг на друга, то он не может быть врачом. Число 1999 не кратно трём.

б) В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку, в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению, сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.

Указание   Решение

Указание. Рассортируйте докладные записки на пачки, где указаны одни и те же сотрудники. Письма психически здоровых чекистов окажутся в отдельной пачке.

Решение. Рассортируем записки на пачки, собрав вместе те, где указаны одни и те же сотрудники. Выберем пачки, в которых количество записок не кратно числу 200. Поскольку записки здоровых сотрудников оказались в отдельной пачке, а количество всех записок даёт остаток 199 при делении на 200, то в выбранных пачках содержится не менее 199 записок.

По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на ¹/₅?

Ответ

Ответ. 6.

В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где — тигр?

Ответ

Ответ. Принцесса в левой комнате, а тигр в правой.

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям клеток.)

а) Первый способ   Второй способ   б) Ответ

а) Первый способ.

а) Второй способ.

б) Ответ.

Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.

Указание   Ответ

Указание. Разложите число 203 на множители.

Ответ. 203 = 7 · 29 · 1 · ... · 1 (всего 203 – 7 – 29 = 167 единиц).

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?

Ответ   Указание

Ответ. 76.

Указание. Рассмотрите числа, дающие остаток 13 при делении на 26. Поскольку 1963 = 75 · 26 + 13, то таких чисел существует 76 штук.