Чётность

Я делаю из мухи слона, но муха должна быть настоящей.

Фазиль Искандер

83.  

Представьте каждое из чисел 1101 и –1101 в виде а) 2n + 1; б) 2n – 1; в) 2n + 333.
Ответ

84.  

Произведение любых двух нечётных чисел нечётно, а сумма — чётна. Докажите это.
Указание   Решение

85.  

Докажите, что если сумма двух целых чисел нечётна, то произведение этих чисел чётно.
Решение   Комментарий

86.  

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить число

11011811061018224521543?
Ответ   Указание   Решение
87.  

Двадцать лет тому назад в ходу были купюры достоинством 1, 3, 5, 10 и 25 рублей. Докажите, что если 25 рублей разменяли десятью такими купюрами, то хотя бы одна из этих десяти купюр — десятка.
Указание   Решение

88.  

Чётова пишет на доску одно целое число, а Нечётов — другое. Если произведение чётно, победителем объявляют Чётову, если нечётно, то Нечётова. Может ли один из игроков играть так, чтобы непременно выиграть?
Ответ   Подсказка Решение

89.  

По кругу зацеплены 9 шестерёнок: первая со второй, вторая с третьей, ..., девятая с первой. Могут ли они вращаться?

Ответ   Решение

90.  

На рисунке прямая пересекает все стороны шестиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны 11-угольника, не проходя ни через одну его вершину?
Ответ   Решение

91.  

100 фишек поставлены в ряд. Разрешено менять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли поставить фишки в обратном порядке?
Ответ   Решение

92.  

В роте 100 человек. Каждую ночь дежурят трое. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый единожды подежурил с каждым?
Ответ   Указание   Решение

93.  

Николай с сыном и Пётр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько его сын, а Пётр — втрое больше, чем его сын. Всего поймали 25 рыб. Сколько рыб поймал Николай?
Ответ

94.  

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
Ответ   Решение

95.  

Можно ли стереть одно из данных а) 1992; б) 1993 целых чисел так, чтобы сумма оставшихся чисел была чётна?
Ответ   Указание   Решение

96.  

Можно ли натуральные числа 1, 2, ..., 20, 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме всех остальных чисел этой группы?
Ответ   Указание   Решение

97.  

Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешено к любым двум числам прибавить по единице. Можно ли несколькими такими операциями сделать все числа равными?
Ответ   Указание   Решение

98.  

На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два её числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат чётен.
Решение

99.  

На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу?
Ответ   Указание   Решение

100. 

На некотором поле шахматной доски стоит король. Двое по очереди передвигают его по доске. Запрещено возвращать короля на поле, где он только что был. Выиграет тот игрок, кто поставит короля на поле, где король когда-то уже побывал. Кто из игроков может гарантировать себе победу?
Решение