Цент — одна сотая часть условной единицы.
111.
| Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?
Указание
Ответ |
Указание. Один процент — это 138 : 23 = 6 страниц.
| | |
| |
112. | Разложите 80 тетрадей на две стопки так, чтобы число тетрадей одной из них составило 60% числа тетрадей другой стопки.
Указание
Ответ |
Указание. Составьте и решите уравнение x + 0,6x = 80.
| | |
Ответ. В одной стопке 50 тетрадей, в другой — 30.
| | | |
113. | Когда из первого бидона перелили во второй 12,5% находившегося в первом бидоне молока, то молока в бидонах стало поровну, по 35 литров. Сколько молока было во втором бидоне?
Ответ
Решение |
|
Решение. 12,5% — это 1/8 часть. Значит, после переливания в первом бидоне осталось 7/8 первоначального объёма молока. Если 35 литров — это 7/8, то 35 : 7 = 5 литров — 1/8. Значит, было перелито 5 литров, а во втором бидоне первоначально было 35 – 5 = 30 литров молока.
| | | |
114.
| Множимое увеличили на 50%, а множитель уменьшили на 50%. Как изменилось произведение?
Ответ
Решение |
Ответ. Произведение уменьшилось на 25%.
| | |
Решение. Пусть x — множимое, y — множитель.
Увеличив x на 50%, получим 1,5x. Уменьшив y на 50%, получим 0,5y. Произведение превратилось в
1,5x · 0,5y = 0,75xy,
что составляет 75% первоначального произведения xy.
| | | |
115.
| Что больше: 15,43% от 5 или 5% от 15,43?
Ответ |
Ответ. Эти величины равны.
| | | |
116. | Как изменится цена товара, если сначала её увеличить на 100%, а затем уменьшить на 50%?
Ответ |
Ответ. Цена останется прежней, ибо сначала её умножат на 2, а затем разделят на 2.
| | | |
117. | Цену картофеля повысили на 20%. Через некоторое время цену снизили на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения?
Ответ
Решение |
Ответ. После снижения цены картофель стал на 4% дешевле, чем до повышения.
| | |
Решение. Если цену картофеля до повышения принять за 100 частей,
то после повышения она составила 120 частей, а после снижения на 20% цена уменьшилась на 120 · 20 : 100 = 24 части и стала равна 120 – 24 = 96
частям, то есть составила 96% исходной цены.
Вычисления проще было провести так:
1,2 · 0,8 = 0,96.
(Обязательно разберитесь, почему умножить на 1,2 — значит увеличить
на 20%, а умножить на 0,8 — значит уменьшить на 20%.)
| | | |
118. | а) A, B и C состязались в беге на 100 м. Когда A финишировал, B отставал от него на 10 м. Когда B финишировал, C отставал на 10 м. На сколькоотставал C от A, когда A закончил бег?
Ответ
Решение |
|
Решение.
На каждых 10 метрах бега бегуна В
бегун С
отстаёт от него на 1 метр. Поэтому,
когда А финишировал,
В отставал от А на
10 метров, а С отставал
от В на 9 метров.
Значит, С отставал от А
на 19 метров.
| |
|
б) В одном магазине цены уменьшили на 10%,
а потом ещё на 10% (от нового уровня).
А в другом цены просто сразу снизили на 20%. Что выгоднее для
покупателя?
Ответ
Решение
|
Ответ.
Выгоднее совершать покупки во втором магазине.
| |
|
Решение.
Уменьшить число на 10% — то же самое,
что умножить его на 0,9; уменьшить на
20% — умножить на 0,8.
Таким образом, если x — начальная цена
товара, то после понижения в первом магазине она станет равна
0,9 · 0,9 · x = 0,81x,
в то время как во втором магазине —
0,8x. | |
|
|
119.
| За весну Обломов сбавил в весе 25%, за лето
прибавил 20%, за осень похудел на 10%,
а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился
за год?
Ответ
Решение
|
|
Решение. Если принять за x
начальный вес Обломова, то к концу
весны Обломов весил 0,75x,
к концу лета —
1,2 · 0,75x,
к концу осени —
0,9 · 1,2 · 0,75x,
а к концу года —
1,2 · 0,9 · 1,2 · 0,75x = 0,972x < x.
| |
|
|
120.
| Вода Тихого Океана содержит 3,5% соли
(по весу). Сколько пресной воды надо прибавить к
40 кг такой воды, чтобы содержание соли в смеси составило 0,5%?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Для начала найдём массу соли в 40 кг морской воды.
Она равна 40 : 100 · 3,5 = 1,4 кг.
Столько же соли получится и в смеси, которую нам нужно получить
(ведь добавляем мы пресную воду).
Найдём массу m этой смеси, зная, что
0,5% от неё равны 1,4 кг:
m : 100 · 0,5 = 1,4.
Отсюда m = 280. Таким образом, нужно
добавить 240 литров пресной воды.
| |
|
|
121.
| Из 22 килограммов свежих грибов получается
2,5 килограмма сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков
процент воды в свежих грибах?
|
122.
| а) Какое наименьшее число участников может быть в кружке
левитации, если мальчиков в нём меньше 50%,
но больше 40%?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Обозначим общее число участников кружка
буквой n, а число мальчиков среди
них — буквой m. Тогда
по условию
40 < (m/n) · 100 < 50,
то есть 2m < n < 2,5m.
Очевидно, при m = 1 и при
m = 2 целого значения n,
удовлетворяющего этим неравенствам, не существует.
При m = 3 такое значение уже есть.
Это n = 7.
При m > 3 значения n,
очевидно, больше 7.
| |
|
б) Для какого наименьшего натурального числа n
существует дробь со знаменателем n,
находящаяся между числами 0,4 и 0,5?
|
123.
| Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше, чем Алик, собрал грибов Вася?
Ответ
Решение
|
|
Решение. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик,
то есть Боря собрал в 1,2 раза больше грибов, чем Алик.
Поскольку Боря собрал на 20% меньше грибов, чем Вася, то
Боря собрал 0,8 от собранного Васей количества грибов, то есть
Вася собрал в 1 : 0,8 = 1,25 раза больше, чем Боря. Учитывая, что Боря собрал в 1,2 раза больше, чем Алик,
заключаем: Вася собрал грибов в 1,2 · 1,25 = 1,5 раза больше, чем Алик.
Обратите внимание: высказывания
«число х на 20% меньше числа у» и
«число у на 20% больше
числа х» имеют разный смысл!
| | |
|
124.
| Предприятие получило задание за два года снизить на 51% объём выпускаемой продукции. Каждый год требуют снижать на одно и то же число процентов. На сколько?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Уменьшить число на сколько-то процентов — это значит
умножить его на некоторое число, меньшее единицы, а именно на
число 1 – (n/100),
где n показывает, на сколько процентов уменьшаем число.
Пусть M — объём выпускаемой предприятием продукции.
Тогда после уменьшения этого числа на 51%
получим 0,49M. Такого же результата мы должны достичь двукратным понижением на одно и то же число процентов, то есть двукратным умножением на некоторое число w:
w · w · M = 0,49M.
Отсюда w = 0,7.
Умножение числа на 0,7 — это уменьшение его
на 30%.
| | |
|
125.
|
В сосуде было 20 литров спирта. Часть его отлили и долили
столько же воды. Затем, перемешав, отлили такую же часть и сосуд опять долили водой. В сосуде спирта оказалось втрое меньше, чем воды. Какую часть отливали?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Пусть V — первоначальный объём спирта
(в нашем случае V = 20, но это
не важно).
Отлить какую-то его часть — значит умножить
объём спирта на
некоторое число w, меньшее единицы
(к примеру, отлить 1/7 — то же самое, что
умножить имеющийся объём на 6/7).
Таким образом, после первого отливания и добавления воды мы
получили раствор объёмом V, в котором
содержится wV литров спирта. Поскольку спирт в этом
растворе распределён равномерно по всему объёму,
а отливали во второй раз такую же часть объёма раствора,
как и в первый раз, то после второго отливания останется
w2V литров спирта.
При этом спирта оказалось втрое меньше, чем воды —
значит, спирт занимает одну четвёртую объема всего
раствора, который остался неизменным. Таким образом,
w2V = V/4,
откуда w = 1/2.
| |
|
|
126.
| Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число
процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов.
В результате получилось число 21,6.
На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Пусть n — искомое число процентов.
Увеличение числа на n% равносильно его умножению
на (1 + n/100), а уменьшение
на n% — умножению на (1 –
n/100).
Обозначим для краткости записи
n/100 = w и составим уравнение:
51,2(1 + w)(1 + w)(1 + w)(1 –
w)(1 – w)(1 – w) = 21,6,
((1 + w)(1 – w))3 =
21,6/51,2 ,
(1 – w2)3 = 27/64
= (3/4)3 ,
1 – w2 = 3/4 ,
w2 = 1/4 ,
w = 1/2 ,
n = 100w = 50. |
|
|
|
127.
| М.В. Ломоносов тратил одну денежку на
хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он
приобретал полхлеба и квас.
Хватит ли той же денежки хотя бы на
квас, если цены ещё раз вырастут на 20%?
Указание
Ответ
|
Указание.
Примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим
буквой x, а стоимость кваса —
буквой y.
Составим уравнения:
x + y = 1
— до повышения цен,
1,2(0,5x + y) = 1
— после повышения.
Значит,
0,6x + 1,2y = 1.
Теперь легко найти x и y,
а затем посчитать
1,2 · 1,2y — стоимость кваса после двух повышений цен.
| |
|
|
|
128.
| Пройдя половину пути, катер увеличил скорость на 25%
и поэтому прибыл на полчаса раньше. Сколько времени он двигался?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Пусть t — время, затраченное катером на первую половину пути.
Вторую половину пути он шёл со скоростью, в 1,25 раза большей запланированной,
а значит, затратил в 1,25 раза меньше времени, т.е.
t/1,25 = 0,8t.
Составим уравнение:
0,8t = t – 1/2.
Отсюда t = 2,5.
Таким образом, первую половину пути катер прошёл
за 2,5 часа, а
вторую — за 2 часа.
| |
|
|
129.
| В сентябре проездной билет на метро стоил 800
рублей. В октябре стоимость билета увеличили, в результате чего
число проданных билетов уменьшилось на 25%,
а выручка от их продажи уменьшилась на 6,25%.
Сколько стал стоить проездной билет в октябре?
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Пусть до повышения цены было продано n билетов,
а выручка составила s рублей. Тогда
800n = s.
Пусть x рублей — новая цена билета.
Поскольку после повышения цены было продано 0,75n билетов,
а выручка составила s — 0,0625s = 0,9375s рублей,
то 0,75nx = 0,9375s = 0,9325 · 800n.
Следовательно,
x = 0,9375 · 800 : 0,75 = 1000.
| |
|
|