Ответ |
Ответ. Диагональная линия левого рисунка не прямая; на точном рисунке виден параллелограмм площади 1, как и следовало ожидать.
Последовательность Фибоначчи
j1 = 1,
j2 = 1,
j3 = 2,
j4 = 3,
j5 = 5,
j6 = 8,
j7 = 13,
j8 = 21,
j9 = 34,
j10 = 55,
j11 = 89, ...
обладает следующим свойством: квадрат числа Фибоначчи на 1 отличается от произведения предшествующего ему и следующего за ним чисел Фибоначчи; точнее говоря,
jn2 + (–1)n
= jn – 1jn + 1.
Например, при n = 6 формула превращается в равенство 82 + 1 = 5 · 13, а при n = 7 — в равенство 132 – 1 = 8 · 21. Советую нарисовать картинки, аналогичные рисунку к условию задачи, для нескольких других значений n.
| | |
219.
| Из 40 спичек образована квадратная решётка (каждая сторона маленького квадратика — одна спичка). Снимите 9 спичек, чтобы полностью не сохранилось контура ни одного квадрата (состоящего из одного или большего количества маленьких квадратиков). (Достаточно указать один способ, как это сделать.)
Пояснение
Ответ |
Пояснение. На нижеследующем рисунке убраны 9 спичек. Полностью сохранился контур только одного квадрата:
|
| |
Ответ.
|
| | |
220.
| Из прямоугольника размером 10×7 вырезали прямоугольник 1×6, как показано на рисунке. Разрежьте полученную фигуру на две конгруэнтные (одинаковые и по площади, и по форме) части, из которых можно сложить квадрат.
Ответ |
Ответ.
| | | |
221.
| Решите ребусы: а) УМ + ШУМ = ВМШ;
б) ДУРАК + УДАР = ДРАКА;
в) ОДИН + ОДИН = МНОГО;
г) FORTY + TEN + TEN = SIXTY.
|
222.
| Известно, что a и b — натуральные числа, а из следующих четырёх утверждений —
- a + 1 делится на b,
- a = 2 b + 5,
- a + b делится на 3,
- a + 7b — простое число,
— три верных, а одно неверное. Найдите все возможные пары чисел a, b.
Ответ
Указание
Решение |
Ответ. a = 9, b = 2 или a = 17, b = 6. |
| |
Указание. Докажите сначала несовместность второго и третьего условий; затем докажите несовместность третьего и четвёртого условий. |
| |
Решение. Пусть a = 2b + 5.
Тогда
a + b = 3b + 5
не делится на 3. Следовательно, второе и третье условия несовместны.
Далее, предположим, что число a + b делится на 3. Тогда
a + 7b = (a + b) + 6b
делится на 3 и, поскольку a + 7b > 3,
не может быть простым числом. Мы доказали несовместность третьего и четвёртого условий.
Следовательно, третье условие ложно, а остальные три истинны. В частности, a = 2b + 5. Подставив это выражение в первое условие, видим: 2b + 6 делится на b, так что число b является делителем числа 6. Проще говоря, b = 1, 2, 3 или 6. Рассмотрим теперь следующую таблицу:
b | 1 | 2 | 3 | 6 |
a | 7 | 9 | 11 | 17 |
a + 7b | 14 | 23 | 32 | 59 |
Ответ теперь очевиден: b = 2,
a = 9 или b = 6, a = 17. |
| | |
223.
| Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотые и 3 серебряные. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю» и по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему достались.
Решение |
Решение. Вопрос может звучать так: «Верно ли, что и Алёше Поповичу, и Добрыне Никитичу досталось хотя бы по одной серебряной монете?» Если ответ утвердительный, то обе монеты Ильи Муромца — золотые. Если отрицательный, то Илье достались две серебряные монеты. А если Илья не сможет ответить ни «да», ни «нет», то он получил за службу золотую и серебряную монеты.
Можно было задать и другие вопросы, например:
— Верно ли, что хотя бы одному из двух других богатырей достались две серебряные монеты?
— У тебя больше золотых монет, чем у Алёши Поповича?
— Если я заберу одну из твоих монет и дам вместо неё золотую, то станет ли у тебя больше золотых? (Заметьте, что в этом вопросе не упомянуты монеты, доставшиеся двум другим богатырям!)
| | | |
224.
| Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник шириной 33 и высотой 32 клетки и разрежьте его на квадраты, как показано на рисунке. (Резать можно только вдоль линий сетки!) |