Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2008 года

1. Среди 40 внешне одинаковых монет 3 фальшивые. Фальшивые монеты легче, чем настоящие, и имеют одинаковые массы (массы настоящих монет тоже одинаковы). С помощью трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь научитесь отбирать 18 настоящих монет.

2. Для любого конечного непустого множества количество его подмножеств, каждое из которых содержит чётное количество элементов, равно количеству его подмножеств, каждое из которых содержит нечётное количество элементов. Докажите это. (Например, множество {1,2,3} имеет четыре нечётноэлементных подмножества {1}, {2}, {3} и {1,2,3}, и столько же чётноэлементных: пустое множество, {1,2}, {1,3} и {2,3}. Множество {1,2,3,4} имеет восемь нечётноэлементных подмножеств {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} и {2,3,4}, и столько же чётноэлементных: пустое множество, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} и {1,2,3,4}.)

3. На бесконечной в обе стороны клетчатой полоске стоят три фишки так, как показано на рисунке. Разрешено добавить в любые три клетки по фишке, если одна из этих клеток находится ровно посередине между двумя другими. Также разрешено убрать по одной фишке из трёх клеток, удовлетворяющих тем же требованиям. Можно ли при помощи данных действий убрать все фишки с полоски?

4. Для каких натуральных n > 1 существует такое натуральное m, что m делится на n, m + 1 делится на n – 1, m + 2 делится на n – 2, ..., m + n – 2 делится на 2?

5. Точку, лежащую внутри параллелограмма, отразили симметрично относительно его сторон. Четыре полученные точки оказались вершинами квадрата. Обязательно ли исходный параллелограмм — квадрат?

Задачи пятого номера 2008 года

6. Имеются 11 гирь, массы которых равны 1 г, 2 г, 4 г, ..., 1024 г. На каждой гире надписана масса в граммах, но надписи, возможно, перепутаны. За 10 взвешиваний на чашечных весах выясните, есть ли среди надписей неправильные (не важно, какие именно). Удастся ли гарантированно сделать это за 9 взвешиваний?

7. Если биссектрисы углов при вершинах «неправильной» пятиконечной звезды пересекаются в одной точке, то биссектрисы углов внутреннего пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите это.

Указание

8. Назовём натуральное число a хорошим, если существует прямоугольный треугольник с целыми сторонами, длина одной из сторон которого равна a. Найдите все хорошие числа.

9. Через точку пересечения медиан треугольника нельзя провести прямую, которая делит его площадь в отношении 2 : 1. Докажите это.

10. Концами пятидесяти отрезков на числовой прямой являются все натуральные числа от 1 до 100. Длина каждого отрезка кратна пяти, а сумма всех длин равна 2500. Докажите, что отрезки можно разбить на пять десятков так, что в каждом десятке сумма длин отрезков будет равна 500.

Задачи шестого номера 2008 года

11. Треугольник A'B'C' вписан в равносторонний треугольник ABC так, как показано на рисунке. Величины углов BA'C' и C'B'A равны. Равны и величины углов BC'A' и A'B'C. Докажите, что прямая BB' делит угол ABC пополам.

12. Вова возвёл девять в девятую степень. После этого возвёл девять в полученную степень или ничего не делал. Так он поступил несколько раз. Маша взяла число 8. Возвела число 8 в эту степень или ничего не сделала. После этого она опять возвела число 8 в полученную степень или ничего не сделала. И так — несколько раз подряд. Докажите, что разность полученных Вовой и Машей чисел делится на 7.

13. На плоскости отмечены 49 точек, являющихся узлами клетчатой таблицы 6×6. Докажите, что у любой замкнутой ломаной, вершинами которой являются все эти точки, есть два параллельных звена.

14. Перед вами три суперкомпьютера: американский, китайский и российский. На вид они неразличимы, и вам неизвестно, где какой компьютер. Компьютеры знают всё друг о друге. Разрешено задать только один вопрос, на который можно ответить «да» или «нет», какому-нибудь одному из компьютеров, после чего этот компьютер даст ответ. Беда в том, что правдиво на вопросы отвечает лишь американский компьютер, а два других сломаны: китайский всегда отвечает неправду, а российский отвечает что попало. Можно ли придумать вопрос, который позволит гарантированно купить: а) нероссийский; б) некитайский компьютер?

15. В прямоугольную коробку положили 40 батареек. Батарейки лежат «вплотную» — ни одну нельзя подвинуть. После этого нашли ещё одну батарейку. Упакуйте все батарейки в ту же коробку.

Задачи первого номера 2009 года

16.

17.

18.

19.

20.