Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2007 года

1. Нумизмат выложил 100 монет разных стран в одну линию. Оказалось, что любые две соседние монеты весят почти одинаково: разница их масс меньше 0,01 грамма. Всегда ли удастся эти монеты так перегруппировать, а потом расположить по кругу, чтобы массы любых двух соседних монет на окружности отличались менее чем на 0,02 грамма?

2. а) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, в которых можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел внутри каждого круга была одной и той же и максимально возможной.
б) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, для которых невозможна расстановка чисел от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел внутри всех кругов были одинаковы.
в) Обозначим максимальную сумму, полученную в решении пункта а), через M. Нарисуйте три многоугольника, при пересечении которых образуются шесть областей, в которых можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел внутри каждого многоугольника была одной и той же и превышала M.

3. Для любых попарно различных нечётных натуральных чисел m, n, p, q и r сумма чисел mnpq, mnpr, mnqr, mpqr, npqr и 201 не превосходит числа 2mnpqr. Докажите это.

4. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырёхугольника, разрезал его диагональ пополам. Докажите, что четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.

5. За один ход разрешено одновременно перекрасить в противоположный цвет любую клетку шахматной доски и все клетки, имеющие с ней общую сторону. Можно ли за несколько ходов перекрасить в противоположный цвет все клетки доски?

Задачи пятого номера 2007 года

6. Взявшись за руки, 64 танцора водят 4 круговых хоровода с общим центром. В одном хороводе участвуют 16 человек: 8 мальчиков и 8 девочек. Хороводы вращаются равномерно, так что в каждый из 16 одинаковых секторов круга в такт танца попадают 4 танцора — по одному из каждого хоровода. Можно ли распределить мальчиков и девочек таким образом, что в каком бы направлении хороводы ни кружили, в любом такте танца был бы сектор, содержащий 4 мальчика?

7. Может ли сумма квадратов трёх последовательных целых чисел быть кубом целого числа?

8. Три полосы одинаковой ширины в пересечении образуют звёздчатый шестиугольник ABCDEFGHIJKL. Докажите, что в одной точке пересекаются отрезки: а) AG, CI и EK; б) AG, BH и FL; в) CI, BH и DJ; г) EK, DJ и FL. (Полоса — часть плоскости между двумя параллельными прямыми; ширина полосы — расстояние между ограничивающими её прямыми.)

9. Первые 100 натуральных чисел написаны так, что из каждой пары чисел с суммой 101 одно число написано красными чернилами, другое синими, а сумма всех красных чисел равна сумме всех синих. Весом числа любого цвета назовём количество чисел другого цвета, которые меньше этого числа. Докажите, что сумма квадратов весов красных чисел равна сумме квадратов весов синих чисел.

10. Можно ли так заполнить числами таблицу размером а) 6×6; б) 7×7, чтобы сумма всех чисел любого квадрата 3×3 была отрицательна, а любого квадрата 5×5 — положительна?

Задачи шестого номера 2007 года

11. Числа a, b, c, x, y и z таковы, что a + x = y + z, b + y = x + z, c + z = x + y, а произведение чисел a + b, b + c, a + c и (x + y + z)⁵ – x⁵ – y⁵ – z⁵ равно произведению чисел x + y, y + z, x + z и (a + b + c)⁵ – a⁵ – b⁵ – c⁵. Докажите равенства a = b = c = x = y = z.

12. a, b, c, d, f — ненулевые числа. Докажите, что если некоторые три из уравнений

a + bx + cx² + dx³ + fx⁴ = 0,

b + cx + dx² + fx³ + ax⁴ = 0,

c + dx + fx² + ax³ + bx⁴ = 0,

d + fx + ax² + bx³ + cx⁴ = 0,

f + ax + bx² + cx³ + dax⁴ = 0

имеют общий корень, то и все пять уравнений имеют общий корень.

13. Если середина отрезка, соединяющего середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, лежит на диагонали четырёхугольника, то эта диагональ проходит через середину другой диагонали. Докажите это.

14. Пифагорейцы считали совершенными прямоугольники размером 36 и 44, потому что длины сторон каждого такого прямоугольника выражаются целыми числами, а площадь прямоугольника численно равна его периметру. Найдите все совершенные (то есть обладающие такими же свойствами): а) прямоугольные; б) равнобедренные треугольники.

15. Профессор Мумбум-Плюмбум написал программу, которая умеет вычислять придуманную им функцию mumb(x). Профессор утверждает, что если на экране калькулятора ввести произвольное число x и нажать клавишу «Ввод», то на его месте всегда появляется значение функции mumb(x), причём если повторно нажать клавишу «Ввод», то в результате этих двух нажатий появится значение выражения 3|x| – 4. Не ошибается ли профессор? Что покажет калькулятор, если ввести число x = 0,8 и один раз нажать клавишу «Ввод»?

Задачи первого номера 2008 года

16. При каких натуральных n > 2 можно записать в одну строку числа от 1 до n так, чтобы среди любых трёх чисел, записанных подряд, одно из них было не меньше суммы двух других?

17. Найдите все натуральные степени простых чисел, представимые в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

18. Точку, лежащую внутри остроугольного треугольника, отразили симметрично относительно каждой из трёх его сторон. Полученные три оказались на описанной окружности исходного треугольника. Затем на чертеже оставили только три полученные точки, а всё остальное стерли. Восстановите исходный треугольник по этим трём точкам.

19. Первый член последовательности равен нулю, а каждый следующий получается из очередного числа x как полусумма числа 3x и квадратного корня из суммы 5x² + 4. Докажите, что все числа этой последовательности — целые.

20. Натуральные числа x и y таковы, что число xy + 1 является квадратом целого числа. Докажите, что существует такое натуральное число z, что числа yz + 1, zx + 1 и xy + yz + zx + 1 являются квадратами целых чисел.