КВАНТ Научно-популярный
физико-математический журнал для школьников и студентов

Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2003 года

1. Восемь одинаковых по внешнему виду монет расположены по кругу. Известно, что три из них Фальшивые, причём они расположены рядом друг с другом. Вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей. Все фальшивые монеты весят одинаково, но неизвестно, фальшивая монета тяжелее или легче настоящей. Докажите, что за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить все фальшивые монеты.

2. Даны три отрезка, длины x, y, z которых удовлетворяют равенству

x4yz + y4zx + z4xy = x3y3 + y3z3 + z3x3.

Докажите равенство площади квадрата, длина стороны которого равна длине одного из данных отрезков, площади прямоугольника, длины сторон которого равны длинам двух других отрезков.

3. Если к цифре 2 приписать справа цифру 5, то получится 25 — точный квадрат. Получится ли точный квадрат, если
а) к числу 22m+1 приписать справа число 52n+1;
б) к числу 22m приписать справа число 52n? (Здесь m, n — натуральные числа.)

4. Через середины диагоналей выпуклого четырёхугольника проведены прямые, параллельные диагоналям. Эти прямые пересекаются в точке М. Докажите, что площадь треугольника АВМ равна площади треугольника CMD, а площадь треугольника ВМС равна площади треугольника AMD.

5. В мастерской изготавливают квадратные решётки, состоящие из квадратных ячеек со стороной 1. Для этого используют заготовки, состоящие из трёх стержней длиной 1, сваренных под прямыми углами в виде буквы «П». При изготовлении решётки запрещается накладывать стержни друг на друга; можно лишь сваривать их между собой в точках касания. Для каких n мастерская может изготовить решётку размером n×n?

Задачи пятого номера 2003 года

6. Фирма «Безенчук и Ко», состоящая из шефа и нескольких рабочих, изготавливает сувениры. В течение дня каждый из рабочих изготавливает по одинаковому целому количеству сувениров, а шеф — тоже целое число сувениров, но на 13 сувениров больше, чем в среднем каждый из сотрудников фирмы (включая и его самого). Сколько рабочих трудится в этой фирме?

7. Про числа x, y и z известно, что [x + y] отличается от x + y на 1/3; [y + z] отличается от y + z на 1/3; [z + x] отличается от z + x на 1/3. На сколько [x + y + z] меньше числа x + y + z? (Квадратные скобки обозначают операцию взятия целой части, то есть [x] — наибольшее целое число, не превосходящее x.)

8. Дана окружность, внутри которой отмечены точки А и С, лежащие на одном диаметре. При помощи циркуля и линейки без делений постройте на окружности такую точку В, для которой величина угла АВС наибольшая возможная.

9. Я последовательно записал все цифры номера моего мобильного телефона. Умножив полученное натуральное число на 5, я обнаружил, что в результате получилось девятизначное число, запись которого содержит все цифры от 1 до 9. Найдите сумму цифр моего телефонного номера.

10. Все натуральные числа выписаны в порядке возрастания без разделителей. В результате получилась бесконечная последовательность цифр:

1234567891011121314...

Докажите, что существует число, образованное первыми несколькими цифрами этой последовательности и делящееся на 2003.

Задачи шестого номера 2003 года

11. Докажите, что уравнение a2 + b3 + c4 = d5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

12. Обозначим через S(n) сумму цифр натурального числа n. Найдите все такие натуральные числа n, что S(n) · (S(n) + 1) = n.

13. Используя только циркуль, разделите заданный квадрат на две части одинаковой площади.

14. Для любого натурального числа m докажите существование таких различных натуральных чисел k и n, что К делится на N, К + 1 делится на N + 1, ..., К + M делится на N + М.

15. Имеется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов. Строки могут различаться по высоте, а столбцы — по ширине. Мы можем указать несколько клеток таблицы, и в эти клетки запишут площадь каждой из них. Какое наименьшее число клеток мы можем указать, чтобы после их заполнения можно было узнать площади всех остальных клеток таблицы?

Задачи первого номера 2004 года

16. Профессор Мумбум-Плюмбум пытается из 1 единицы, 2 двоек, 3 троек, …, 9 девяток составить число так, чтобы между каждыми двумя ближайшими девятками стояла 1 цифра, между каждыми двумя ближайшими восьмёрками — 2 цифры, между каждыми двумя ближайшими семёрками — 3 цифры, …, между каждыми двумя ближайшими тройками — 7 цифр, а между двумя двойками — 8 цифр. Удастся ли ему это сделать?

17. На плоскости даны три точки А, В и С. Разрешено выбрать любые две из них и повернуть отрезок, их соединяющий, относительно его середины. После того как такую операцию проделали несколько раз, точка А совпала с исходным положением точки В, а точка В не совпала с исходным положением точки С. Докажите, что точка С также не совпала с исходным положением точки А.

18. Всякий квадратный трёхчлен можно представить в виде разности двух квадратных трёхчленов, ни один из которых не имеет корней. Докажите это.

19. Существует ли такое 99-значное число a, что 198-значное число aa делится на a2?

20. В каждую клетку таблицы 5×5 записали неотрицательное число. После этого в каждом прямоугольнике, состоящем из трёх клеток, подсчитали сумму чисел. Оказалось, что все суммы разные. Какое наименьшее количество положительных чисел может быть в таблице?
 
 

2010–2011

2009-2010

2008-2009

2007-2008

2006-2007

2005-2006

2004–2005

2003–2004

2002–2003

2001–2002

2000–2001

1999–2000

1998–1999

1997–1998

1996–1997

1995–1996

1994–1995

1993–1994

1992–1993

1991–1992

1990–1991