Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 2002 года

1. Множество клеток прямоугольной доски 10×10 назовём важным, если любой прямоугольник 1×4, составленный из клеток доски, включает по крайней мере одну клетку этого множества. Какое наименьшее число клеток может содержать важное множество?

2. Среди 24 монет две фальшивые: одна из них тяжелее, а другая легче настоящей монеты. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, равна ли сумма масс двух фальшивых монет сумме масс двух настоящих?

3. В окружность вписан квадрат ABCD. Взятые на окружности точки P и Q таковы, что величина угла PAQ равна 45°. Прямая AP пересекает контур квадрата в точке M, а прямая AQ — в точке N. Докажите параллельность прямых MN и PQ.

4. Число a имеет b делителей, а число b имеет a/2 делителей (число является делителем самого себя). Сколько делителей у числа a + 2b?

5. Из картонного квадрата размером 5×5 вырезали пять кругов единичного диаметра. Докажите, что из оставшегося картона всегда можно вырезать два прямоугольника размером 1×2.

Задачи пятого номера 2002 года

6. 8 одинаковых по внешнему виду монет расположены по кругу. Три из них фальшивые. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже. Фальшивая монета тяжелее настоящей. Можно ли найти все три фальшивые монеты, произведя лишь два взвешивания на чашечных весах без гирь?

7. В тёмном чулане семь гномов хранят колпаки разных цветов, причём колпаков всех цветов поровну. Проснувшись как-то утром, первый гном попросил 10 колпаков одного цвета. Белоснежка сходила в чулан и отсчитала в темноте наугад столько колпаков, чтобы их наверняка хватило. Но тут проснулись остальные гномы, и второй гном попросил 9 колпаков одного цвета, третий — 8 колпаков одного цвета, и так далее вплоть до последнего седьмого гнома, который попросил 4 колпака одного цвета. Чтобы выполнить просьбы всех гномов, Белоснежка вынуждена была ещё раз сходить в чулан за колпаками. Какое наибольшее число цветов могли иметь колпаки, хранящиеся в чулане?

8. Длины всех сторон десятиугольника равны 1. Девять его сторон касаются некоторой окружности. Докажите, что десятая сторона тоже касается этой окружности.

9. Таблица, состоящая из m строк и n столбцов, заполнена различными натуральными числами от 1 до mn. Назовём две клетки, имеющие общую сторону или вершину, близкими. Для каждой пары близких клеток выпишем на отдельный лист абсолютную величину разности между числами, стоящими в этих клетках. Среди выписанных чисел выберем наибольшее. Докажите, что наименьшее возможное значение этого числа равно n + 1.

10. Существует ли такое натуральное число n, большее единицы, что n² равно сумме n квадратов последовательных целых чисел?

Задачи шестого номера 2002 года

11. Робинзон поручил Пятнице запастись бананами, кокосами, ананасами и дурианами. Пятница решил каждый принесённый банан отмечать палочкой, кокос — палочкой и кружочком, ананас — двумя кружочками. Может ли Пятница отмечать дуриан какой-нибудь последовательностью из палочек и кружочков, чтобы по его записи (Пятница пишет подряд без пробелов) Робинзон всегда мог однозначно установить, сколько каких плодов было запасено?

12. Сколько существует трёхзначных чисел, представимых в виде суммы трёхзначного числа с числом, полученным из него отбрасыванием последней цифры (то есть разряда единиц), и с числом, полученным отбрасыванием не одной, а двух последних цифр (то есть зачёркиваем разряды единиц и десятков, а оставляем только цифру, обозначавшую количество сотен).

13. В выпуклом четырёхугольнике ABCD есть по крайней мере две параллельные стороны тогда и только тогда, когда произведение площадей треугольников ABD и BCD равно произведению площадей треугольников АВС и ACD. Докажите это.

14. а) Среди разностей двух различных степеней числа 5, то есть среди чисел вида 5^m – 5^m, где m и n — целые неотрицательные числа, есть бесконечно много квадратов целых чисел. Докажите это.
б) Среди сумм двух различных степеней числа 7, то есть среди чисел вида 7^m + 7^m, где m и n — целые неотрицательные числа, нет ни одного квадрата, но зато бесконечно много кубов целых чисел. Докажите это.

15. Имеется 10 столбиков, содержащих 61, 62, 63, ..., 70 монет. Двое игроков ходят по очереди, снимая монеты со столбиков. За один ход можно забирать монеты из одного или нескольких столбиков (даже со всех сразу), но квадрат количества снимаемых со столбика монет не может превышать количества монет в этом столбике. Победителем считаем того, кто взял последнюю монету. Кто из игроков может обеспечить себе победу при любой игре соперника?

Задачи первого номера 2003 года

16. Сумма первых n натуральных чисел равна произведению двух последовательных натуральных чисел тогда и только тогда, когда число n² + (n + 1)² является квадратом целого числа. Докажите это.

17. Пятеро друзей — Андрей, Боря, Вася, Гена и Дима — провели турнир по настольному теннису, играя парами так, что каждая пара сыграла с каждой одну игру. В результате Андрей в общей сложности проиграл 12 раз, а Борис — 6 раз. Ничьих в теннисе не бывает. Сколько раз кто выиграл?

18. Перпендикуляр к середине одной из сторон треугольника делит его на две части, площади которых различаются в 3 раза. Перпендикуляр к середине другой стороны делит его на две части, площади которых различаются не в 3 раза. Во сколько раз различаются площади частей, на которые делит треугольник перпендикуляр к середине третьей стороны?

19. Для любого натурального n число nⁿ⁺¹ + (n + 1)ⁿ⁺² + (n + 2)ⁿ⁺³ составное. Докажите это.

20. Найдите все пары целых чисел (a; b), для которых уравнение

x² + xy + y² = Зa² + b²

имеет решения в целых числах (x; y).