1. Положительные числа a, b, c таковы, что

a³ + b³ + c³ = (a + b – c)³ + (a – b + c)³ + (–a + b + c)³.

Докажите равенства a = b = c.

2. ABCD и CEFK — параллелограммы. Отрезки BE и DK параллельны, а длины этих отрезков равны a и b. Найдите длину отрезка AF.

3. Каждое из десяти различных чисел умножили на число a. К каждому из произведений прибавили число b. Множество из десяти полученных чисел совпало с исходным. Обязательно ли а) |a| = 1; б) b = 0?

4. Можно ли расставить на шахматной доске несколько пешек так, чтобы количества пешек на соседних вертикалях отличались вдвое, а на соседних горизонталях — втрое?

5. В грибе, представляющем из себя квадрат 16×16, разбитый на 256 равных квадратиков, завелись 13 червяков. Каждый червяк представляет из себя цепочку из пяти квадратиков, в которой каждые два последовательных квадратика имеют общую сторону.
а) Докажите, что одним разрезом, параллельным стороне квадрата, можно разрезать по крайней мере трёх червяков.
б) Останется ли верным утверждение пункта а), если один из червяков выползет из гриба?

Задачи пятого номера 2001 года

6. В завещании купца Бубликова говорится: «Старшему сыну причитается 100 рублей и 1/k часть остатка. Второму сыну причитается 200 рублей и 1/k часть остатка. Затем третьему сыну причитается 300 рублей и 1/k часть остатка, и так далее до последнего k-го сына, которому причитается всё, что останется от старших братьев. Деньги выдать сыновьям лишь в том случае, если они сумеют найти сумму завещанных мною денег и число k таким образом, чтобы всем им досталось поровну». Помогите сыновьям купца Бубликова справиться с этой задачей.

7. Даны десять карточек с цифрами 0, 1, 2, ..., 9. Можно ли расположить эти карточки по кругу таким образом, чтобы все числа, образованные стоящими рядом двумя цифрами (число читаем по часовой стрелке), имели общий делитель, больший единицы?

8. Величина угла A ромба ABCD равна 60°. Прямая, проходящая через точку C, пересекает прямые АВ и AD в точках M и N. Докажите, что величина угла между прямыми MD и NB равна 60°.

9. Решите в натуральных числах уравнение 3xyz – 5yz + Зx + Зz = 5.

10. В каждую клетку прямоугольной таблицы записали либо букву А, либо букву У. При этом буква А оказалась записанной 33 раза, а буква У — 7 раз, причём вблизи каждой буквы А разместилась ровно одна буква У (две клетки таблицы считаем близкими, если они имеют общую сторону или вершину). Вычеркнули все строки, в которых записана хотя бы одна буква У. Сколько букв А осталось в таблице?

Задачи шестого номера 2001 года

11. Имеется бесконечный лист клетчатой бумаги. В каждую клетку записано число. В любом квадрате 3×3 сумма чисел равна 5. Сумма чисел во всех квадратах 5×5 также одна и та же. Чему она равна?

12. Квадрат 8×8 с вырезанной в центре дырой 2×2 нужно разрезать на фигурки, изображённые под ним. Какое наименьшее количество частей может получиться?

13. Карлсон раздобыл брусок сыра (прямоугольный параллелепипед) размерами 2000×2001×2002. Он предлагает Малышу полакомиться сыром и заодно сыграть в следующую игру. Сначала Малыш делит брусок прямолинейным разрезом на два меньших бруска с целыми сторонами и один из них съедает. Затем Карлсон разрезает оставшийся брусок опять на два бруска с целыми сторонами и один съедает. И так далее, по очереди. Выигрывает тот, кто первым съест сырный кубик 1×1×1. Кто выигрывает при правильной игре: Малыш или Карлсон?

14. Выпуклый шестиугольник ABCFGH таков, что CF = FG = НА, а величины его углов A, C и G соответственно равны величинам его углов B, F и H. Докажите, что около этого шестиугольника можно описать окружность.

15. Равенство a⁵ + b⁵ = (a + b)⁵ выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство a²b + b²a = 0. Докажите это.

Задачи первого номера 2002 года

16. Придумайте два таких пятизначных числа a и b, что если к десятичной записи числа b слева приписать запись числа a, то получится десятизначное число, делящееся на произведение ab.

17. При каких n можно из первых n натуральных чисел выбрать два числа, произведение которых вдвое больше суммы остальных из этих чисел?

18. O и I — соответственно, центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC; M — середина дуги AC описанной окружности, не содержащей точки B. Докажите, что величина угла ABC равна 60° тогда и только тогда, когда MI = MO.

19. На некотором острове проживают 1000 туземцев, каждый из которых либо всегда лжёт, либо всегда говорит правду. Каждый островитянин про каждого из остальных знает, является тот лжецом или нет. Прибывший на остров новый губернатор может раз в день выбрать любую группу островитян и спросить каждого из выбранных, сколько лжецов находится в данной группе. За какое наименьшее число дней губернатор заведомо может выяснить, кто из островитян лжец, а кто правдивый, если ему известно, что не все островитяне лжецы?

20. Зал размером 90×90 метров разделен на квадратные комнаты размером 10×10. В каждой из стен между двумя соседними комнатами имеется дверь (а в наружной стене зала дверей нет). Какое наибольшее число дверей можно открыть, чтобы в каждой комнате оказались открытыми не более а) одной; б) двух; в) трёх дверей?