Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 1998 года

1. Существует ли четырёхугольник, любую вершину которого можно перенести в другое место так, чтобы новый четырёхугольник был конгруэнтен исходному?

2. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M, а на сторонах AB и CD — точки P и Q соответственно так, что отрезки PM и QM параллельны диагоналям параллелограмма BD и AC соответственно. Докажите равенство площадей треугольников PBM и QCM.

3. Имеется 24 квадрата со сторонами длиной 1 см, на которых написаны натуральные числа от 1 до 24. Из этих квадратов склеили куб с длиной ребра 2 см. Может ли при этом сумма чисел, написанных на любых двух квадратах, имеющих общую сторону, делиться на 3?

4. Существуют ли пять последовательных а) шестизначных; б) 1998-значных чисел, каждое из которых делится на сумму своих цифр?

5. Использовав каждую из цифр от 1 до 9 ровно один раз, запишите четыре квадрата, имеющих отличный от 1 общий делитель.

Задачи пятого номера 1998 года

6. Президент Анчурии устроил пресс-конференцию по случаю своего дня рождения. Собравшиеся журналисты были все знакомы между собой, все обменялись рукопожатиями. Когда вошёл президент, он обменялся рукопожатиями с теми журналистами, с которыми он был знаком. Всего было сделано 80 рукопожатий. Сколько было журналистов? Со сколькими был знаком президент?

7. В звёздчатом пятиугольнике ACEBD некоторые точки пересечения сторон делят стороны пополам, а именно: AQ = QC, BR = RD, CR = RE и DS = SA. Докажите, что точки Т и Р делят отрезок BE на три равные части.

8. Целые числа a, b, c, x, y и z удовлетворяют равенствам a + b + c = 0 и x + y + z = 0. Докажите, что произведение

(a²yz + b²xz + c²xy)(x²bc + y²ac + z²ab)

является четвёртой степенью целого числа.

9. Вася купил две игрушки «тамагочи» — растущих электронных зверьков. Первый бодрствует с 7 до 22 часов, каждые 3 часа «взрослея» на год. Остальное время он спит, «взрослея» на год за 6 часов. Второй зверек «взрослеет» на год за каждые 4 часа, независимо от времени суток. Вася одновременно включил обе игрушки. Трёхлетнего возраста зверьки достигли одновременно. Кому из них раньше исполнится 5 лет?

10. В таблице 9×9 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 80, 81. Нужно узнать эту расстановку. Разрешено спросить о том, какие числа находятся в указанном вами квадрате, стороны которого проходят по линиям сетки. За какое наименьшее число вопросов можно всегда восстановить расстановку?

Задачи шестого номера 1998 года

11. Найдите наименьшее делящееся на 99 натуральное число, все цифры которого чётны.

12. В троллейбусе едут 175 пассажиров и два кондуктора. Каждый пассажир покупает билет только после того, как его три раза об этом попросят. Сначала первый кондуктор просит приобрести билет одного из безбилетных пассажиров, потом то же самое делает второй кондуктор, и так далее до тех пор, пока все пассажиры не купят билеты. Продажу какого наибольшего количества билетов может обеспечить себе первый кондуктор?

13. Конь сделал 8 ходов и вернулся последним ходом на исходное поле. Мог ли он при этом побывать на всех вертикалях и горизонталях шахматной доски?

14. На стороне AB треугольника ABC дана точка Z. Постройте на сторонах BC и AC точки X и Y так, чтобы площади треугольников AYZ, BXZ и CXY были одинаковы.

15. По окружности, разбитой на несколько дуг, прыгает блоха. Перед каждым своим прыжком она вычисляет длину дуги, на которой находится, а затем прыгает так, чтобы сместиться по часовой стрелке на дугу вычисленной длины. В частности, если блоха попала на границу двух дуг, то она дальше прыгает по часовой стрелке по граничным точкам, тем самым посещая все дуги. Докажите, что в любом случае блоха побывает на всех дугах.

Задачи первого номера 1999 года

16. Натуральное число m таково, что существует факториал, оканчивающийся ровно m нулями, но не существует факториала, оканчивающегося ровно m — 1 нулями. Существует ли факториал, оканчивающийся ровно m + 1 нулями? (Факториалом натурального числа n называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n.)

x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3

17. В таблице размером 3×3 суммы чисел, стоящих в строках, одинаковы:

x₁ + x₂ + x₃ = y₁ + y₂ + y₃ = z₁ + z₂ + z₃.

Суммы чисел по столбцам тоже одинаковы:

x₁ + y₁ + z₁ = x₂ + y₂ + z₂ = x₃ + y₃ + z₃.

Докажите, что сумма произведений чисел этой таблицы по столбцам равна сумме произведений чисел по строкам:

x₁y₁z₁ + x₂y₂z₂ + x₃y₃z₃ = x₁x₂x₃ + y₁y₂y₃ + z₁z₂z₃.

18. Если числа a и b натуральные, а дробь a/b меньше квадратного корня из 5, то разность между корнем из 5 и этой дробью больше числа 1/(4ab). Докажите это.

19. Обезьянки Чи-Чи и Чита нашли в джунглях кучу из 25 кокосовых орехов.
— Давай вытаскивать орехи по-очереди,— предложила Чи-Чи,— причём каждый раз из кучи можно вытаскивать такое количество орехов, которое является делителем имеющегося количества орехов в куче. Разумеется, всю кучу хватать нельзя, если только в ней не остался один орех. Последний орех забирать можно.
— Чур, я первая!— засуетилась Чита.
Какой из обезьянок при правильной игре достанется больше орехов?

20. На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, как показано на рисунка. Помеченные одинаково углы оказались равны между собой: величина угла AС₁B₁ равна величине угла B₁A₁С, величина угла BA₁C₁ равна величине угла C₁B₁A, а величина угла CB₁A₁ равна величине угла A₁C₁B. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ — середины сторон треугольника ABC.