Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 1997 года

1. Если натуральное число n не делится на 3, то существуют два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на n. Докажите это.

2. Можно ли разделить числа 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 на два множества так, чтобы сумма квадратов чисел одного из них равнялась сумме квадратов чисел другого?

3. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a точки M, N, P и Q расположены так, как это показано на рисунке, причём MA + AN = PC + CQ = a. Докажите, что величина угла между отрезками MQ и PN равна 60°.

4. 25 одноклассников ежегодно в день окончания школы звонят друг другу. В очередном году оказалось, что среди любых трёх одноклассников хотя бы одна пара не смогла связаться по телефону. Какое наибольшее количество разговоров между одноклассниками могло произойти?

5. В одной большой клетке сидели 38 попугаев. Однажды они передрались, в результате каждый из них выдрал у кого-то другого перо из хвоста, и у всех попугаев оказались поврежденными хвосты. Хозяин решил пересадить их в три клетки, которые вмещали 16, 16 и 6 попугаев. Докажите, что он может рассадить попугаев так, чтобы ни один попугай не сидел в одной клетке со своим обидчиком.

Задачи пятого номера 1997 года

6. В Анчурии в продаже появилось новое средство для похудения — магнитное кольцо, прикрепляемое к носу. Его стоимость — 5 долларов за штуку, но если кто-то покупает сразу пять колец, то шестое ему выдают бесплатно. Сложившись, сотрудники одной фирмы приобрели себе такие кольца, что позволило им сэкономить некоторую сумму. Однако затем главный бухгалтер с досадой заметил, что если бы они купили не по одному кольцу, а по два, то каждое кольцо обошлось бы на 1 цент дешевле. Какова была бы экономия, если бы каждый купил по четыре кольца?

7. В выходной день каждый из учеников класса один раз побывал на катке. Каждый мальчик встретил там всех своих одноклассниц. Докажите, что в некоторый момент на катке присутствовали либо все мальчики класса, либо все девочки.

8. На всех клетках шахматной доски написаны некоторые числа. Разрешено менять местами числа в любых двух соседних по стороне клетках, а также заменять числа в любых двух соседних клетках их полусуммами. Докажите, что с помощью таких операций все числа в клетках можно сделать равными.

9. В треугольнике ABC через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника, как указано на рисунке. Докажите, что площади треугольников KLM и PQR равны.

10. В качестве вещественного доказательства при рассмотрении дела об изготовлении фальшивых монет суду были предъявлены 18 монет, изъятых у подсудимого. Суд знает, что настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые — также одинаково, но они легче настоящих. Прокурор знает, что ровно 9 монет — фальшивые, причём ему известно, какие именно. Сможет ли он убедить в этом суд, сделав только три взвешивания на чашечных весах без гирь?

Задачи шестого номера 1997 года

11. В книге 120 страниц, одна из которых отведена под титул, одна — под аннотацию, ещё одна — оглавление. На остальных страницах напечатаны сказки, причём каждая сказка начинается с новой страницы. Сумма номеров страниц, на которых начинаются сказки, в пять раз меньше суммы номеров страниц, на которых они заканчиваются. Сколько сказок в книге?

12. Окружность и четырёхугольник расположены так, как показано на рисунке. Суммы длин противоположных дуг окружности, лежащих внутри четырёхугольника, равны. Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

13. На рисунке изображены две пары одинаковых фигур, обладающих следующим свойством: какие бы две из них ни выбрать, из них можно составить такую же фигуру, что и из двух оставшихся. Придумайте четыре попарно различные фигуры, обладающие тем же свойством.

14. Решите в натуральных числах уравнение

4(a + b + c) = ab + bc + ca.

15. Первый и второй члены последовательности a₁, a₂, a₃ ... известны: a₁ = 1799 и a₂ = 1828 соответственно. Любой член этой последовательности, начиная со второго, на единицу меньше произведения своих соседей слева и справа: a_n+1 + 1 = a_n a_n+2 для любого натурального n. Найдите a₁₉₉₇.

Задачи первого номера 1998 года

16. Во время поездки к морю Петя собрал на берегу несколько красивых камней и разложил их в 6 коробок так, чтобы количества камней в коробках были попарно взаимно простыми. Потом он взял по одному камню из двух коробок и отложил их в отдельную кучку, дальше он снова взял по одному камню из двух коробок и положил в ту же кучку. Когда он в девятый раз проделал эту процедуру, во всех коробках осталось поровну камней. Сколько у Пети было камней и как они были разложены по коробкам?

17. На окружности расположены 100 точек, являющихся вершинами правильного 100-угольника. Десять из этих точек окрасили в красный цвет, ещё десять — в синий. Докажите, что среди хорд, соединяющих точки красного цвета, есть хотя бы одна хорда, равная по длине хотя бы одной хорде, соединяющей точки синего цвета.

18. На доске 3×9 стоят три шашки так, как показано на рисунке. Двое начинают играть в следующую игру: каждый по очереди передвигает одну из шашек вправо по горизонтали. Проиграет тот, кто не сможет ход (из-за того, что после только что сделанного хода противника все шашки оказались у правого края). Докажите, что при правильной игре выиграет начинающий.

19. Найдите какие-нибудь два десятизначных числа, наименьшее общее кратное которых равно квадрату их разности.

20. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = CD, a величина угла AOD равна полусумме величин углов BAD и CDА. Докажите, что ABCD — ромб.