Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи четвёртого номера 1996 года

1. Сколько чисел последовательности 12 + 34, 56 + 78, 910 + 1112, 1314 + 1516,... делятся на 4?

2. АР и BQ — биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника ABC. Отрезки СМ и CN — медианы треугольников APC и CBQ соответственно. Докажите, что сумма величин углов в вершинах М и N пятиконечной звезды MNPCQ равна сумме величин углов в остальных трёх её вершинах.

3. Гангстеры ограбили редакцию научно-популярного журнала «Квантум», похитив большую пачку свежеотпечатанных номеров, что нанесло ущерб, превышающий две с половиной тысячи долларов. Седьмую часть похищенного бандиты успели распродать к моменту их поимки, а оставшиеся экземпляры были возвращены владельцам. Чтобы уменьшить потери, редакция продавала каждый возвращенный журнал на 60 центов дороже, но это не возместило убытка. После того, как сотрудник журнала «Квант» пожертвовал страдальцам 1 доллар, урон был с лихвой компенсирован.
Сколько стоил журнал «Квантум» до подорожания?

4. Целые числа x, у и z удовлетворяют равенству

(х + у + z)(xy + yz + zx) = xyz.

Докажите, что среди них обязательно есть два числа, сумма которых равна нулю.

5. 49 кнопок расположены в виде квадрата 7×7. Каждая из них может либо светиться, либо быть погашенной. При нажатии на любую из кнопок меняется состояние этой кнопки и всех соседних с ней по горизонтали, вертикали и диагоналям. Докажите, что можно погасить все кнопки независимо от того, какие кнопки светились первоначально.

Задачи пятого номера 1996 года

6. Рассмотрим полный набор косточек домино, в котором числа на половинках косточек могут принимать значения от 0 до n. Какое наибольшее число косточек может быть выложено в соответствии с правилами?

7. Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

8. Величины углов некоторого девятнадцатиугольника кратны 10°. Докажите, что у этого девятнадцатиугольника есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

9. Пять очаровательных девушек Аня, Белла, Вера, Галя и Даша вышли в финал конкурса «Мисс «Квант»-1996». Один из журналистов спросил Дашу: «Кто старше: Вы или Вера?». На что получил следующий ответ: «Если я старше Ани, то я либо старше Беллы, либо моложе Веры. Если же я не старше Беллы, то я моложе Гали. Если я моложе Гали и старше Ани, то я не моложе Веры. Если я моложе Гали и не старше Беллы, то я старше Ани». Каков правильный ответ на вопрос журналиста?

10. На полке стоят 8 книг разного размера. Некто берет две первые книги слева, сравнивает их размеры и ставит большую на третье место слева, а меньшую — на последнее. Затем он вновь берет две первые книги слева и проделывает ту же операцию, и так далее.
а) Всегда ли, анализируя результаты этих процедур, можно выяснить, какая из книг является самой большой?
б) Существует ли такая первоначальная расстановка книг, что во время этого процесса каждая книга будет сравнена с каждой?
в) Существует ли такая первоначальная расстановка книг, что, анализируя результаты указанных процедур, можно указать последовательность книг в порядке их возрастания?

Задачи шестого номера 1996 года

11. Числа 17 и 71 — оба простые, числа 117, 171 и 711 — составные, числа 1117 и 1171 — оба простые, а 1711 и 7111 — составные: 1711 = 29 · 59, 7111 = 3 · 547. Докажите, что для любого n > 1 среди чисел, записываемых с помощью n единиц и одной семёрки, есть хотя бы одно составное число.

12. Квадрат разрезан прямыми, параллельными сторонам квадрата, на прямоугольники, которые раскрашены в чёрный и белый цвета в шахматном порядке; сумма площадей чёрных прямоугольников равна сумме площадей белых прямоугольников. Докажите, что прямоугольники можно так переместить, что все чёрные прямоугольники составят один прямоугольник.

13. Возьмём натуральное число и умножим его на сумму его цифр; полученное число умножим на сумму его (полученного числа) цифр числа, и так далее. Укажите все такие числа, для которых сумма цифр некоторого очередного числа (а следовательно, и всех последующих) равна единице.

14. На плоскости даны два равносторонних треугольника ABC и ACO и проведена окружность с центром в точке O, проходящая через точки A и C. Докажите для любой точки M этой окружности равенство MA² + MC² = MB².

15. В клетчатом квадрате 19×19 закрашено 95 клеток. а) Докажите, что хотя бы в одном из прямоугольников 3×5 закрашено не более трёх клеток. б) Так закрасьте 96 клеток, чтобы в каждом прямоугольнике 3×5 было закрашено не менее четырёх клеток.

Задачи первого номера 1997 года

16. Таблицу умножения неограниченно продолжим вправо и вниз так, что на пересечении m-й строки и n-го столбца стоит число mn. Рассмотрим суммы чисел, стоящих на диагоналях таблицы (на рисунке показаны суммы на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й и 5-й диагоналях). Докажите, что сумма чисел на 1996-й диагонали оканчивается на 1996.

17. Из вершины квадрата со стороной a по его периметру с постоянной скоростью начинает двигаться точка A. Одновременно из той же вершины со вчетверо большей скоростью по периметру начинает двигаться точка B. Точка M — середина отрезка AB. Какой путь пройдёт точка M к моменту, когда точка A вновь попадёт в исходную вершину?

18. С числом разрешено проделывать следующую операцию: выбрать цифру в десятичной записи этого числа и прибавить или отнять её от этого числа. Можно ли с помощью этой операции, применённой несколько раз, из числа 1970 получить число 97?

19. Из шахматной доски вырезали квадрат 4×4 так, что оставшуюся часть удалось разрезать на прямоугольники 1×3. Какой квадрат вырезали?

20. В равностороннем треугольнике расположены пять попарно непересекающихся кругов радиуса 1. Докажите, что в этом треугольнике можно расположить шесть попарно непересекающихся кругов радиуса 1.