Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»

Задачи пятого номера 1994 года

1. Первый член последовательности чисел равен 439, каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Чему равен 99-й член этой последовательности?

2. Найдите все натуральные числа, произведение цифр которых больше 885, но меньше 895.

3. В квадрате со стороной a проведены отрезки AN, BK, CL и DM так, что площадь зелёного четырёхугольника равна сумме площадей коричневых треугольников. Докажите равенство

AM + BN + CK + DL = 2a.

4. Целые числа a, b и c таковы, что a(a + b) = b(b + c) = c(c + a). Докажите равенства a = b = c.

5. На пульте находятся 100 светящихся кнопок, расположенных в виде квадрата 10×10. Табло устроено так, что при нажатии на произвольную кнопку она и все кнопки в одном с ней ряду и в одном столбце меняют свое состояние: светящиеся кнопки гаснут, а негорящие — загораются. Какое наименьшее число кнопок нужно нажать, чтобы все кнопки оказались погашенными, если первоначально все они светились?

Задачи шестого номера 1994 года

6. Какие натуральные числа нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел?

7. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что точка пересечения биссектрис углов DAC и DBC лежит на стороне CD. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов ADB и ACB лежит на стороне AB.

8. Палиндромом называем слово, которое не меняется, если его прочесть в противоположном направлении: например, КАЗАК, ШАЛАШ. Пусть задано слово, состоящее из 1995 букв, причём в нём присутствуют только буквы А и Ш. Докажите, что его можно разбить на палиндромы так, что их количество будет не больше 800.

9. а) Укажите на шахматной доске 8×8 маршрут короля, при котором он обходит все клетки по одному разу, чередуя диагональные и недиагональные ходы. б) Возможен ли такой маршрут на доске 9×9?

10. Имеется 6 одинаковых с виду монет, некоторые из них фальшивые — более лёгкие. С помощью не более чем четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь найдите все фальшивые монеты.

Задачи первого номера 1995 года

11. Опишите все натуральные числа, которые равны удвоенной сумме некоторых двух своих различных делителей.

12. Компания из восьми человек семь раз садилась за круглый стол. Могло ли случиться, что любые двое при этом ровно два раза сидели рядом?

13. На плоскости расположено несколько окружностей. Окружностей не меньше пяти, любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все эти окружности проходят через одну общую точку.

14. Число 1991 · 1993 · 1995 · 1997 + 16 является полным квадратом. Докажите это.

15. На плоскости даны две окружности. Через центры каждой из окружностей проведены прямые, касающиеся второй окружности, как это показано на рисунке. Точки A₁ и A₂ — точки пересечения с первой окружностью прямой, проходящей через её центр, a B₁ и B₂ — аналогичные точки для второй окружности. Докажите, что прямые A₁B₁ и A₂B₂ параллельны.

Задачи второго номера 1995 года

16. При каком наибольшем n можно на шахматной доске расставить n ферзей, n королей и n слонов так, чтобы ни одна фигура не била другую?

17. Существует ли 1995 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению?

18. Двое играют в следующую игру. В девятиклеточной полоске первый игрок расставляет числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 так, как хочет, затем второй игрок ставит фишку на одну из клеток. После этого они поочередно перемещают фишку каждый раз в одну из соседних клеток. На каждой клетке фишка может побывать не больше раз, чем число, написанное на этой клетке. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Кто (первый или второй игрок) выиграет при правильной игре?

19. Придумайте треугольник ABC, для которого существуют две такие точки M, что

MA + BC = MB + AC = MC + AB.

20. В таблице 9×9 расставлены числа 1, 2, ..., 80, 81. Вам нужно узнать эту расстановку. Разрешено спросить о том, какие числа находятся в указанном вами квадрате, стороны которого проходят по линиям сетки. За какое наименьшее число вопросов можно всегда восстановить расстановку?