Конкурс имени А.П. Савина «Математика 6-8»
Задачи девятого номера 1992 года
 1. Если вечером на Поле Чудес закопать золотые монеты, то к утру на их месте вырастут одинаковые деревья с золотыми монетами на ветвях. Буратино пришёл на Поле Чудес в понедельник, имея 5 золотых монет. Он хочет получить не меньше 1992 монет. Вырастив первые деревья, он понял, что сможет добиться своего не раньше среды, но не позже пятницы. Сумеет ли он оказаться владельцем ровно 1992 монет?
2. Целые числа a, b и c таковы, что ab + bc + ca = 0. Докажите, что число abc может быть представлено в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.
 3. Правильный треугольник со стороной длины n разбит на единичные правильные треугольники. Сколько существует различных равносторонних треугольников, вершины которых являются вершинами этих единичных треугольников? (При n = 1 это число равно 1, при n = 2 оно равно 5, а при n = 3 равно 15.)
Задачи десятого номера 1992 года
 4. Гавиал, бегемот, пеликан и кашалот съели в общей сложности 37 рыб, причём кашалот съел во столько же раз больше пеликана, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько съел каждый?
5. Внутри треугольника отмечена точка. Докажите, что длина наибольшего из отрезков, соединяющих её с вершинами, не менее чем вдвое больше длины наименьшего из отрезков, соединяющих её с серединами сторон треугольника.
6. Когда закончился волейбольный турнир (в один круг), оказалось, что каждая команда выиграла столько же матчей, сколько и все побеждённые ею команды. Сколько команд участвовало в турнире?
Задачи одиннадцатого номера 1992 года
7. В 1988 году телевидение Анчурии начало демонстрацию телесериала «По колено в слезах», причём в каждом году, начиная с 1989, было показано либо на 40% больше, либо на 40% меньше серий, чем в предыдущем. Чтобы не наносить большого ущерба экономике страны, ежедневно показывали не больше двух серий. При просмотре 1230-й серии зрители были опечалены ссорой главных героев, но ровно через два года в 1992 году порадовались их счастливому примирении в последней серии. Сколько серий содержал этот замечательный телефильм?
8. Укажите хотя бы одно такое шестизначное число, являющееся точным кубом, что все числа, получающиеся из него циклической перестановкой цифр (abcdef — bcdefa — cdefab — defabc — efabcd — fabcde), делятся на кубический корень из этого числа.
 9. Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Всякий отрезок, являющийся общей стороной двух из 24-х полученных квадратов, окрашен в синий или красный цвет. Красных отрезков 26. Докажите, что на поверхности кубика есть замкнутая ломаная линия, состоящая только из красных отрезков.
Задачи двенадцатого номера 1992 года
10. Нетрудно проверить, что
2 делится на 2, 3 · 4 делится на 22, 4 · 5 · 6 делится на 23, 5 · 6 · 7 · 8 делится на 24. Сформулируйте общее утверждение и докажите его.
11. Тетрадный лист имеет размеры 33 41 клеток. Можно ли в его клетки записать все числа от 1 до 33 · 41 = 1353 так, чтобы в каждом квадратике 2×2 сумма записанных в нем четырёх чисел была одна и та же?
 12. Таксомоторный парк решил устроить ученикам подшефной школы экскурсию. Когда к дверям школы подъехала колонна микроавтобусов и «Волг», то ребята быстро расселись по 12 человек в каждом «Рафике» и по 7 человек в каждой «Волге». Когда подъехали ещё три машины, то школьники пересели так, что в каждой «Волге» стало по 6 человек, а в каждом «Рафике» по 11. Можно ли заказать ещё несколько машин так, чтобы в каждой «Волге» было по 5 школьников, а в каждом «Рафике» по 10?
Задачи первого номера 1993 года
13. Двое играют в следующую игру. На столе лежит кучка из 12 спичек; играющие по очереди берут из неё одну или две спички, или кладут одну или две спички из ранее взятых, после чего записывают каждый на своём листке количество спичек в кучке, оказавшееся там после его хода. Нельзя делать ход, после которого на листке окажутся написанными два одинаковых числа. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто выиграет в этой игре при правильной стратегии? А если в кучке 13 спичек?
14. Квадраты натуральных чисел выписаны подряд: 149162536... Какая цифра стоит на 1993-м месте?
15. Относительная скорость концов часовой и минутной стрелок некоторых правильно идущих часов в некоторый момент оказалась равной 10 мм/с. Может ли эта скорость в какой-то другой момент оказаться равной 8 мм/с? 12 мм/с?
16. На клетчатой бумаге отмечены три узла A, B и C. Величина угла ABC равна 45°, а на отрезках AB и BC нет узлов, кроме их концов. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
17. Для любого натурального числа n число
(n + 1)1993 + n1993 + (n – 1)1993 – 9
делится на 10. Докажите это.
18. Написали пятизначное число, затем написали пятизначное число, состоящее из тех же цифр, но идущих в обратном порядке. Из большего числа вычли меньшее, получили число a. Можно ли восстановить число a, зная лишь три его последние цифры?
Задачи второго номера 1993 года
19. Найдите все тройки натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющие равенству
2(a + b + c) = ab + bc + ca.
20. На книжной полке стоит восьмитомник Жюля Верна. Разрешено вытащить том, стоящий либо третьим, либо восьмым, считая слева направо, и поставить его первым. Докажите, что после нескольких таких операций можно поставить тома в правильном порядке, независимо от того, как они стояли первоначально.
21. Из кассы цифр вытащили пять карточек с разными цифрами и составили из них пятизначное число. Затем стали составлять из этих карточек всевозможные трёхзначные числа и нашли их сумму. Эта сумма оказалась равной первоначальному пятизначному числу. Какое это было число?
22. В треугольнике ABC взяты точки M на стороне AB и N на стороне BC. Докажите, что если величина угла BNM меньше величины угла ANM, то величина угла BNM больше величины угла AMN.
23. Какое наибольшее число дней в году можно выбрать так, чтобы любые два из них, но не все вместе, пришлись бы либо на один день недели, либо на один месяц, либо на одно число месяца?
24. Развёртка куба состоит из шести одинаковых квадратов. А можно ли из пяти одинаковых прямоугольников составить развёртку какого-нибудь параллелепипеда?
| 
