3. Найдите хотя бы один такой набор натуральных чисел р, q, r, s, t, u, v, w, x, что

р² + q³ + r⁴ + s⁵ + t⁶ +u⁷ + v⁸ + w⁹ = x¹⁰.

Указание   Решение

4. Про два треугольника известно, что для каждого из них сумма длин любых двух его сторон равна сумме длин двух каких-нибудь сторон другого треугольника. Конгруэнтны ли эти треугольники?

Ответ   Решение

5. Роща состоит из 300 деревьев. Известно, что если пометить любые 201 из них, то среди помеченных деревьев непременно найдутся дуб, берёза и ель. Обязательно ли роща состоит из 100 дубов, 100 берёз и 100 елей?

Ответ   Решение

Задачи второго номера 2006 года

1. На острове, где живут рыцари (которые говорят только правду) и лжецы (которые всегда лгут), я услышал диалог:
А: — Ты лжец.
Б: — Что верно, то верно.
Кто есть кто?

Ответ   Указание

2. Известно, что среди чисел a + b, a – b, ab и a : b три числа равны, а четвёртое отлично от них. Какие значения могут принимать числа a и b?

3. На плоскости нарисовали четыре конгруэнтных треугольника так, что любые два имеют ровно две общие вершины. Обязательно ли все они имеют общую вершину?

Ответ   Решение

4. В бесконечном городе все кварталы — квадраты одного размера. Велосипедист стартовал с перекрёстка. Через полминуты за ним поехал другой велосипедист. Каждый едет с постоянной скоростью 1 квартал в минуту и на каждом перекрёстке поворачивает либо направо, либо налево. Могут ли велосипедисты встретиться?

Ответ   Решение

5. Два математика ехали в трамвае. Один постоянно смотрел в окно, другой дремал. При очередной остановке у светофора смотревший в окно воскликнул:
— Удивительное совпадение!
— Что такое? — проснулся второй.
— Представляешь, складывал я недавно два натуральных числа. Если бы я сделал все правильно, то сумма была бы равна номеру вон того «Мерседеса». Но я почему-то в первом слагаемом расположил цифры в обратном порядке, а у второго вообще пропустил одну цифру, и потому сумма оказалась равной номеру вон тех «Жигулей». Так вот скажи: сможешь ли ты определить, какую цифру я пропустил?
— Нет,— поразмыслив, ответил второй. — Этих данных недостаточно.
— Хорошо, добавлю: пропущенная цифра равна номеру дома, мимо которого мы проехали полчаса назад.
— Ну, тогда я могу назвать эту цифру.
Назовите и вы.

Задачи третьего номера 2006 года

1. Профессор Мумбум-Плюмбум придумал новый замечательный отрезок: проведённый внутри треугольника отрезок называется мумбианой, если он делит исходный треугольник на два конгруэнтных треугольника. Докажите, что любая мумбиана является медианой и высотой.

2. Чему равна сумма чисел, обратных к числам 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., 1 + 2 + 3 + ... + 2007, 1 + 2 + 3 + ... + 2007 + 2008?

3. В зоомагазине в 17 клетках находятся 44 чижа, при этом никакая клетка не является пустой. Обязательно ли найдутся 5 клеток, в которых число чижей одинаково?

4. Возвратившись из путешествия, Гулливер рассказывал:
— После того как мне удалось примирить Лилипутию и Блефуску, между некоторыми городами этих стран организовались международные морские рейсы. В каждой стране по 111 портовых городов — мелких и крупных. Каждый крупный город связан рейсами более чем с половиной городов другого государства, а каждый мелкий город — менее чем с половиной. В Лилипутии есть крупный город, не связанный рейсами ни с каким крупным городом Блефуску, и есть мелкий город, связанный со всеми мелкими городами Блефуску.
Не ошибся ли Гулливер?

5. Какая минимальная длина ленточки (без учёта «бантика») требуется для перевязки коробки конфет размером 21×15×3 (в сантиметрах) «подарочным» способом?

Задачи четвёртого номера 2006 года

1. В красный круг вписан треугольник, покрашенный в синий цвет. Когда круг разрезали на две части и сложили их вместе, то снова получили красный круг с синим треугольником. Обязательно ли этот треугольник вписанный?

Ответ   Решение

2. Фрекен Бок на клетчатой бумаге с размерами клетки 1×1 по линиям сетки рисует прямоугольник, содержащий не менее 3 клеток. Малыш и Карлсон по очереди заполняют клетки нарисованного прямоугольника крестиками и ноликами, причём начинает Малыш и ставит крестики. Карлсон ставит нолики. Выигрывает тот, кто поставит 3 своих знака подряд на одной горизонтали или на одной вертикали. Прямоугольник какого наименьшего периметра должна начертить фрекен Бок, чтобы Малыш мог наверняка выиграть при правильной игре?

Ответ   Указание I   Указание II   Указание III

3. Мартышка, Попугай, Удав и Слонёнок устроили концерт по случаю приезда бабушки Удава. На концерте было исполнено семь номеров, причём каждый номер представлял собой либо пение вдвоем, либо танец втроём. Никакие два номера не исполнялись одним и тем же составом. Удав участвовал в исполнении одной песни и двух танцев. Мартышка исполнила больше номеров, чем Слонёнок. Сколько номеров исполнил Слонёнок?

4. Аня написала на бумаге некоторое утверждение (верное или неверное — никто не знает), а Боря на другом листе бумаги написал свое утверждение (тоже неизвестно, верное оно или неверное). Витя после этого написал: «Из Бориного утверждения следует Анино», а Гена написал: «Из Аниного утверждения следует Витино». Докажите, что из Витиного утверждения обязательно следует Генино, но из Гениного утверждения не обязательно следует Витино.

5. Гирьки массами 1 г, 2 г, ..., 200 г по 100 штук как попало разложили на две чашки весов. Разрешено с каждой чашки 50 гирек переместить на другую. Можно ли за счёт этого обмена получить равновесие?

Задачи пятого номера 2006 года

1. Может ли произведение трёх последовательных натуральных чисел равняться произведению трёх последовательных чётных чисел?

2. Какое наибольшее количество клеток можно отметить на доске размером 8×8, чтобы каждая отмеченная клетка имела общую сторону не более чем с одной отмеченной клеткой?

3. Натуральные числа окрашены в красный и синий цвета так, что произведение чисел разных цветов — число красного цвета, а их сумма — синего. Какого цвета произведение двух красных чисел?

4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD, как на основаниях, во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники АВР и BCQ. Докажите, что треугольник PQD равносторонний.

5. Миллионзначное число назовём кошачьим, если оно делится на произведение своих цифр. Сколько кошачьих чисел может стоять подряд в натуральном ряду?

Задачи шестого номера 2006 года

1. У распорядителя банкета есть некоторое количество одинаковых квадратных столов. Их можно расставить либо буквой «H», либо буквой «Г» («толщина» каждой буквы — один стол). В каком случае можно будет рассадить больше гостей (то есть когда периметр образовавшегося банкетного стола будет больше)?

2. Три жулика, каждый с двумя чемоданами, находятся на одном берегу реки, через которую они хотят переправиться. Есть трёхместная лодка, каждое место в ней может быть занято либо человеком, либо чемоданом. Никто из жуликов не доверит свой чемодан спутникам в своё отсутствие, но готов оставить чемоданы на безлюдном берегу. Смогут ли они переправиться?

3. В 2006 году в «Кванте» №4 в «Задачнике «Кванта» по математике появилась задача под номером М2006. Если бы журнал выходил ежемесячно и в каждом его выпуске публиковалось по 5 задач по математике, как это было в первые годы издания журнала, то «юбилейная» задача М2003 появилась бы уже в 2003 году. Но, начиная с января некоторого года, журнал стал выходить 6 раз в год, причём в тот год было опубликовано 30 задач, два последующих года публиковалось по 60 задач, а затем в каждых двух соседних номерах журнала в «Задачнике» в общей сложности публикуется 15 задач по математике. Начиная с какого года журнал стал выходить 6 раз в год?

4. При каких n можно любой треугольник разбить на n треугольников, имеющих по равной медиане?

5. Каждому из трёх логиков написали на лбу натуральное число, причём одно из этих чисел являлось суммой двух других, о чём им сообщили. Логик не видит, что написано у него на лбу, но видит, что написано у других. Первый логик сказал, что не может догадаться, какое число написано у него на лбу. После этого то же самое сказал второй логик, а затем и третий. Тогда первый сказал: «Я знаю, что у меня на лбу написано число 50». Какие числа написаны у двух остальных?