1. Найдите такое десятизначное число, что все его цифры различны, причём число, составленное из первых двух его цифр, делится на 2, из первых трёх цифр - на 3, из четырёх - на 4, и так далее, а само число делится на 10.

2. Докажите делимость числа а) 1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot\dots\cdot1987\cdot1989+2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot\dots\cdot1988\cdot1990$ на 1991; б) $2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot\dots\cdot1990\cdot1992-1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot\dots\cdot1989\cdot1991$ на~1993. а) Каждое из слагаемых делится как на 11, так и на 81, а 1991 = 11 · 81. б) Запишите первое слагаемое в виде (1993 – 1991)(1993 – 1989)(1993 – 1987) ·...· (1993 – 1).

3. В три магазина привезли 1990 книг. В первые три дня магазин продал соответственно 1/37, 1/11 и 1/2 части полученных книг; второй магазин — 1/57, 1/9 и 1/3 полученных им книг; третий — 1/25, 1/30 и 1/10. Выясните, сколько книг получили первый, второй и третий магазины. В первый магазин привезли 814 книг, во второй — 1026, в третий — 150.

4. Найдите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна~56, и которое к тому же оканчивается цифрами 56 и делится на~56. Искомое число можно представить в виде 100a + 56. Поскольку 100a должно делиться на 56, то число a кратно 14. Сумма цифр числа a должна равняться 56 – 5 – 6 = 45. Наименьшим чётным числом с суммой цифр 45 является 199 998, но это число не делится на 7. Следующими по величине чётными числами с такой же суммой цифр являются 289 998 и 298 998. Первое из них на 7 не делится, а второе — делится. Таким образом, ответом на вопрос задачи является число 29 899 856.

5. На шахматной доске расставлены фигуры так, что на каждой горизонтали, как и на любой вертикали, стоит не менее двух фигур.
а) В любом ли случае можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали осталось ровно по одной фигуре?
б) А если на каждой горизонтали и вертикали первоначально стоят ровно две фигуры? а) Не всегда. Если на всех 28 крайних клетках доски стоят фигуры, то выбрать из них 8~фигур с требуемым свойством нельзя. б) Всегда. Соединим фигуры замкнутыми ломаными линиями, звенья которых параллельны сторонам доски (рис.~??). У каждой такой ломаной чётное число вершин. Снимем с доски фигуры через одну по обходу каждой ломаной.

6. а) Вертикали и горизонтали шахматной доски занумерованы числами от 1 до 8. На доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Для каждой ладьи вычислим произведение номеров вертикали и горизонтали, на которых она стоит. Сложим эти произведения. Докажите, что для расстановки ладей, центрально-симметричной данной, полученная аналогичным образом сумма равна первоначальной.

б) В клетках таблицы размером 3×3 стоят числа. Такую таблицу называют магическим квадратом, если сумма чисел каждой горизонтали, каждой вертикали и каждой диагонали одна и та же. Докажите, что сумма квадратов чисел верхней строки магического квадрата равна сумме квадратов чисел нижней строки этого квадрата. а) Пусть a_ii-ю вертикаль. Задача сводится к проверке равенства

a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... + 8a_8 = 8(9-a_1) + 7(9-a_2) + \dots + 2(9-a_7) + (9-a_8). б) Если в верхней строке магического квадрата стоят числа $a$, b$, c$, а в центре~--- число d, то квадрат имеет вид \begin{array}{ccc} a&b&c\\ d+c-a&d&a-c+d\\ a+b-d&a+c-d&b+c-d \end{array} $$ Чтобы этот квадрат был магическим, необходимо и достаточно равенство

c = 3d – a – b.

Осталось проверить тождество

a² + b² + (3d – a – b)² = (a + b – d)² + (2d – b)² + (2d – a)².

7. а) На листе клетчатой бумаги отмечены 100 узлов — вершины клеток, образующих квадрат 9×9. Двое игроков по очереди соединяют вертикальным или горизонтальным отрезком два соседних отмеченных угла. Игрок, после хода которого образуется квадратик, закрашивает его в свой цвет. Выигрывает тот, кто закрасил больше квадратиков. Придумайте стратегию, которая позволяет второму игроку выиграть.

б) Рассмотрим доску, изображённую на рисунке. Её внешняя граница нарисована толстыми линиями, а внутренние отрезочки — тонкими. Двое ходят по очереди. Каждый ход — превращение одного тонкого единичного отрезочка в толстый. Если при этом вся граница некоторой клетки или некоторых двух клеток становится толстой, то на этой клетке (клетках) ставят крестик в случае, если это произошло после хода первого игрока, и нолик — после хода второго игрока. В конце игры все клетки доски будут помечены крестикам и ноликами. Может ли второй другой игрок действовать так, чтобы к концу игры ноликов оказалось больше, чем крестиков? Второй игрок может делать ходы, центрально симметричные ходам противника. В итоге симметричные клетки разделятся поровну между игроками, а центральная достанется второму игроку.

8. В строку записаны 1990 чисел, каждое из которых равно 1 или –1. Снизу между каждыми двумя числами запишем их произведение; получится новая строка, состоящая из 1989 чисел. Будем продолжать эту операцию, пока не получим строку из одного числа. Докажите, что если в первой строке хотя бы одно из чисел равно –1, то в полученном числовом треугольнике не менее 1990 чисел равны –1. Если в каждой из 1990 строк хотя бы одно число равно –1, то утверждение задачи верно. Если же в k-й сверху строке, где 1 < k ≤ 1990, все числа равны 1, а во всех предыдущих строках есть хотя бы по одному отрицательному числу, то все (1992 – k) чисел (k – 1)-й строки равны –1, а во всём треугольнике количество отрицательных чисел не меньше, чем

(k – 2) + (1992 – k) = 1990.

9. Точку плоскости, имеющую координаты (a;b), разрешено соединить отрезками с точками (a – b;a) и (a;b – a). Можно ли ломаными, состоящими из таких отрезков, соединить точки а) (19;20) и (1990;3383); б) (234;1001) и (661;7007)? а) Нельзя; б) можно. Суть в том, что если числа a и b делятся на некоторое число d, то числа a – b и b – a кратны d. а) Числа 1990 и 3383 делятся на 199. Поэтому и абсцисса, и ордината любой точки, которую можно соединить с точкой (1990;3383), делятся на 199. А 19 на 199 не делится. б) Соедините, пользуясь алгоритмом Евклида, обе точки с точкой (0;13).

10. Имеются 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. а) Можно ли отвесить 2 кг крупы за три взвешивания? б) Можно ли это сделать, если имеется только гиря в 200 г? а) Сначала разделим крупу пополам, затем одну из половин снова разделим пополам и от полученного отвесим 250 граммов. б) Положим гирю на одну из чашу весов и рассыпем крупу по чашкам так, чтобы весы пришли в равновесие. На одной чаше окажется 4,4 кг, а на другой — 4,6 кг. Вторым взвешиванием разделим пополам 4,4 кг крупы и с помощью гири третьим взвешиванием от полученных 2,2 кг отделим 0,2 кг.

11. Докажите, что высота треугольника, опущенная на его бóольшую сторону, не больше суммы длин перпендикуляров, опущенных из произвольной точки этой стороны на две другие стороны этого треугольника. Воспользуйтесь тем, что площадь треугольника равна половине произведения стороны и высоты.

12. Придумайте три девятизначных числа, в записи каждого из которых встречаются все цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, и при этом сумма некоторых двух чисел равна третьему. $987\,654\,321=123\,456\,789+864\,197\,532$.} \emph{Первый способ.} Пусть n — количество внуков. Тогда n-й внук получил n яблок. Число яблок, полученных (n – 1)-м внуком, равняется (n – 1) плюс ¹/₁₀ части оставшихся к этому моменту яблок; следовательно, оставшихся яблок 10 штук, а n-й внук получил 9 яблок. Значит, n = 9; внуки получили по 9 яблок. \emph{Второй способ.} Пусть в корзине было x яблок, тогда первый внук получил

1 + ^{x – 1}/₁₀ = ^{x + 9}/₁₀ яблок, а второй получил 2 + \frac1{10}\(x-\frac{x+9}{10}-2\) = \frac{171+9x}{100} яблок. Так как все внуки получили одинаковое число яблок, то

^{x + 9}/₁₀ = ^{171 + 9x}/₁₀₀,

откуда x = 81. Первый внук получит (81 + 9) : 10 = 9 яблок, по столько же остальные; у бабушки было 9 внуков.

14. Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых различны и расположены монотонно, то есть в убывающем или возрастающем порядке? (Примеры таких чисел: 24589 и 87320.) $C_{10}^5+C_{9}^5 = 252+126 = 378.

15. Найдите все натуральные числа n, обладающие следующим свойством: если числа x₁, x₂, ..., x_n удовлетворяют равенству x₁ + x₂ + ... + x_n = 0, то x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n = n · x_1x_2\dots x_n. n = 1 или 3.

16. а) Сколькими способами можно прочесть на рисунке слово МАРШРУТ?
б) Какую букву нужно убрать, чтобы количество способов стало равно 145? а) Заполним таблицу, написав в каждую клетку количество способов пройти в неё от буквы М. Искомое число — сумма чисел правого столбца:

51 + 76 + 69 + 44 + 20 + 6 + 1 = 267. б) Заполним теперь ту же таблицу, поставив в каждой клетке количество способов, которыми можно дойти до конца слова. Если к некоторой букве от начала можно прийти m способами, а от неё к концу — n способами, то, изымая эту клетку, мы уменьшаем количество способов на mn. Заполним третью таблицу, поставив в каждую клетку произведение соответствующих чисел первой и второй таблиц. Чтобы получить 145 способов, следует изъять клетку с числом 122, то есть букву «Р» во второй строке.

17. Несколько тракторов могут вспахать поле в 300 га за целое число дней. Каждый трактор вспахивает 15 га в день. Сколько потребуется тракторов, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше? Чтобы вспахать поле, одному трактору требуется 300 : 15 = 20 дней. Если работают несколько тракторов, то количество дней работы равно одному из делителей числа 20, то есть 10, 5, 4, 2 или 1. Разность, равная 6, получается лишь для чисел 10 и 4, поэтому работали 2 трактора, а на подмогу нужно 3 трактора.

18. а)Величина угла A ромба ABCD равна 60°. На сторонах CD и AD взяты соответственно точки M и N так, что величина хотя бы одного из углов треугольника BNM равна 60°. Докажите, что треугольник BNM равносторонний. Достаточно разобрать два случая: $\widehat{MBN}=60^\circ$ и $\widehat{BNM}=60^\circ$. В первом случае докажите сначала равенство треугольников ABN и DBN. Во втором — отметьте такую точку K на AB, что AK = AN, и докажите равенство треугольников KBN и DNM.

19. а)На плоскости расположен равносторонний треугольник ABC. Укажите все такие точки M плоскости, для которых треугольники ABM и ACM — равнобедренные. Искомое множество составляют: центр~$O$ треугольника~$ABC$; точка, симметричная точке~$A$ относительно прямой BC$; точки B'$ и C', расположенные на продолжениях отрезков OB и OC за точки B и C соответственно и такие, что BB' : OB = CC' : OC = 2; наконец, точки окружности с радиусом AB и центром в точке A. Чтобы найти этот ответ, нарисуйте одним цветом множество точек M, для которых треугольник ABM равнобедренный, другим цветом~--- множество тех точек M, для которых треугольник ACM равнобедренный. И найдите пересечение этих множеств.

20. а)Андрей раскладывает 200~спичек на 6~разных кучек. Затем Боря уравнивает количества спичек в некоторых двух кучках, беря несколько спичек из бóльшей из них. Боря стремится взять как можно меньше спичек. Сколько спичек может Андрей заставить взять Борю? 12. С одной стороны, 1 + 14 + 27 + 40 + 53 + 65 = 200. С другой стороны, если Андрей заставил Борю взять x спичек, то в первой кучке не меньше 1 спички, во второй — не менее 1 + x спичек, в третьей не менее 1 + 2x, в четвёртой не менее 1 + 3x, в пятой не менее 1 + 4x, а в шестой не менее 1 + 5x; следовательно,